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赏石的千古之谜与旷世遗憾

在世界美术史上,中国人的“石”欣赏大概是非常独特的,而且也是非常悠久的。中国保留下来大量的与石有关的绘画、诗词以及古物作品。

陕西长安唐代韦氏墓出土“六幅屏风壁画”,其中每幅均以石入画。国家博物馆藏“嵌螺钿人物花鸟纹铜镜”,镜面上也以石入画。由此可知,中国的赏石活动最晚从唐代就开始了。赏石的千古之谜与旷世遗憾

赏石的千古之谜与旷世遗憾

唐朝人为什么欣赏石头?白居易曾提出类似的问题。案《太湖石记》:古代贤达一般都有嗜好,例如元晏喜欢藏书,嵇康喜欢弹琴,陶潜喜欢饮酒。然而,丞相牛僧孺却偏爱石。石无文、无声、无味,与书、琴、酒迥然相异,牛僧孺何以独爱?白居易自问自答到:“三山五岳,百洞千壑,罗缕蔟缩,尽在其中;百仞一拳,千里一瞬,坐而得之。”也就是说,对于牛僧孺,石象征山,从石可以联想到山,与石相伴,就仿佛身处三山五岳之中。

实际上,能产生这种联想的绝不止牛僧孺或白居易,唐代许多人都将石与山相联系。韩愈《和裴仆射相公假山十一韵》云:“公乎真爱山,看山旦连夕。犹嫌山在眼,不得着脚历。枉语山中人,丐我涧侧石”。顾非熊《题王使君片石》云:“势似孤峰一片成,坐来疑有白云生”。无闷《寒林石屏》:“草堂无物伴身闲,惟有屏风枕簟间。本向他山求得石,却於石上看他山”。石与山的关系是如此紧密,象征和联想是如此强烈,以致异化随之发生:石可以取代山,而真的高山大岳倒不必亲临游历了。李德裕《题罗浮石》道:“名山何必去,此地有群峰”。

为什么可以从石联想到山呢?与中国传统截然不同,在日本早期文化中,石就是石,石至多与东海相联系。因此,这是一个值得深思的问题。

细读白居易写的有关赏石的三首诗,似乎可以为这个问题提供回答的线索。《太湖石》诗云:“远望老嵯峨,近观怪嵌崟”,另《太湖石》诗云:“三峰具体小,应是华山孙”,《奉和思黯相公》:“错落复崔嵬,苍然玉一堆”。在这些诗里,白居易将“远望老嵯峨”与“近观怪嵌崟”相对,告诉我们,无论是远望还是近观,山石都有同样的嵯峨嵚崟之貌。通过“华山孙”和“玉一堆”的比喻,告诉我们石只是缩小的华山或群山。

实际上,唐诗中用于描述山与石的语汇是完全同样的,虽然用到不同的尺度,例如尺、仞、寻,但表述的山与石的形态并没有变化,例如戴叔伦《孤石》:“迥若千仞峰,孤危不盈尺”,白居易《太湖石》:“才高八九尺,势若千万寻”。如果没有这些尺度,由于用语相同,我们甚至不能区别被描述的到底是石还是山。显然,在唐诗的语境里或者在唐人眼中,石与山是相似的。换言之,中国最迟在唐代,通过石欣赏,就发现了石与山形态上的相似性。北京故宫博物院藏卫贤“高士图”画面直接表现出这种相似性。正是这种相似性的存在,支持了石与山的联想与象征。

赏石的千古之谜与旷世遗憾

我们继续追问下去。为什么石与山在形态上是相似的呢?李流谦曾有诗称“请以小喻大”。为什么我们可以用石之小比喻山之大呢?从发现石与山的相似性以来的一千多年间,似乎从来没有人提出过这个问题。这个问题之浅显,似乎它已经变成一个无需回答的“常识”。

从唐以后的文献记载中,我们可以看到人们在欣赏石的同时继续享受着这个“常识”。宋代孔傅《云林石谱序》云:“虽擅一拳之多而能蕴千岩之秀”。苏轼《壶中九华》诗云:“五岭莫愁千嶂外,九华今在一壶中”。元代魏初《湖山石铭》序云:“峰峦洞壑之秀,人知萃於千万仞之高,而不知拳石突兀,呈露天巧,亦自结混茫而轶埃氛者,君子不敢以大小论也”。明代李日华《味水轩日记》所云:“购得靈壁小石山一座,凡具五峰,而嵌空穿溜数十处,皆有洞穴溪隧之形。余置之研间”。

石与山同形的“常识”到清代似乎被大大地强化了,这可能受益于地理知识的传播。屈大均《广东新语》有云:“英州为奇石之薮,其有根者丛起而为峰,无根者散布而为石。石者峰之余也,峰者山之骨而石其齿牙也”。屈大均这里明确地提出峰与石同形的观点,即英石是英德山峰地貌之缩影。尽管如此,依然没有人追问为什么石与山在形态上是相似的。

1967年!

在这一年,一位波兰裔的美国数学家曼德博(Benoit B. Mandelbrot,1924-2010)在研究英国海岸线时发现,官方的英国海岸线居然有不同的长度。模拟测量表明,如果使用1:200的比例尺,英国海岸线长度为2,400公里(12×200)。为了提高精确度而把比例提高到1:50,那么英国海岸线的长度就增加到3,400公里(68×50)。那么,我们是不是可以把这个比例一直提高呢?常识告诉我们,为了更准确地测量海岸线,我们应该把比例提高到,例如,一厘米甚至一毫米的精度。我们可以把自己想象成长度一毫米的一只小蚂蚁,沿着英国的海岛长途跋涉。这样,我们不仅要爬过每一个海湾、半岛,甚至要爬过海边的每一块石头和砂砾,这样才能测量出完整的英国海岸线。出乎意料的是,下面这张图清楚地告诉我们,测量结果将使得英国海岸线趋向无穷大。这就是著名的“海岸悖论”:尺度越小,海岸越长。曼德博告诉我们,造成这个悖论的原因是,海岸线具有“自相似性”,即它的部分与整体是相似的。你无论如何缩小尺度,你看到的仍然会是一条“粗糙”的线。

赏石的千古之谜与旷世遗憾

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赏石的千古之谜与旷世遗憾

在任一线段上,重复做b,最终可以得到无限的线段

在自然界中,“自相似性”是广泛存在的,例如一棵树木,一朵菜花,当然还有我们上文讲到的石头。现在,我们终于可以回答为什么石与山在形态上是相似的这个问题:石是山的一部分,而二者具有“自相似性”。正如宋代史浩所称“乃知一芥子,可纳须弥岑”,清代沈复所称,“大中见小,小中见大,虚中有实,实中有虚”。1996年,美国哈佛大学美术馆为美国雕塑家Richard Rosenblum的中国赏石收藏所出版的专辑标题Worlds within worlds所表达的也正是这种“自相似性”。

赏石的千古之谜与旷世遗憾

赏石的千古之谜与旷世遗憾

曼德博的发现表明,中国人将石与山相联系,不只是文学、绘画上的表现手法,而是对自然现象深刻洞察的结果。它反映的是一非常内在的自然现象,这种内在的联系,甚至可以从数学上得到证明。

也许写到这里我可以就此搁笔,因为我已经回答了上述那些问题。但是,对数学有兴趣的读者也许愿意继续读下去,看看曼德博如何从数学上证明“自相似性”的存在,并借以描述非常粗糙、混沌、随机的自然现象。由此可以知道,虽然中国人很早就发现了石与山的“相似性”,但是我们却错失了一次非常重大的数学理论建树。

1975年,曼德博提出“分形”概念,并创立分形几何学。曼德博将“分形”定义为具有“自相似性”的几何形体。“自相似性”指在不同尺度上物体形态的相似,或者说“部分”的几何形态与它所构成的“整体”的形态相似。用苏轼的诗解释,“分形”就是“五岭莫愁千嶂外,九华今在一壶中”。

简单来说,“分形”的第一个特征是“自相似性”,上面已经解释了。第二个特征是不可微性。这也就是说,“分形”在任意小的尺度上都有更精细的形态,因此与尺度无关。这一特征直接颠覆了牛顿-莱布尼兹的微积分理论。第三个特征是具有分数维数,称为“分形维数”(豪斯道夫维数)。这个特征非常难以理解,因为人类习惯理解的维数是0维(例如几何学上的一个点)、1维(一条直线)、2维(一个平面)、3维(一个立体),而“分形”的维数不是整数而是分数,例如上面所说的英国海岸就是1.25维。

“分形”实际上是由两个因素决定的:确定性的“规则”与随机性的“影响因素”。按照分形几何学,在粗糙、混沌、随机的客观事物中实际上存在某种“秩序”。分形几何学就是用数学公式描述粗糙、混沌、随机的客观事物。在数学意义上,“分形”的生成通常基于一个不断递归的方程式(通过特定规则,不断递归,最终可以得到一个自相似的形态,即“分形”)。在几何学意义上,“分形”可以视为一种重复性。

1979年曼德博进一步提出后来以他名字命名的“曼德博集合”。曼德博集合属于一种特殊的“分形”。它是一个在复平面上组成“分形”的点的集合,可以用一个二次多项式来定义:fc (z) = z² + c,c为一个复数参数。从z = 0开始对fc (z) 进行递归,其递归值形成序列(0, fc (0), fc (fc (0)), fc (fc (fc (0)))…)。不同的复数参数c可能使序列的绝对值逐渐发散到无穷大,也可能收敛于有限的区域内。曼德博集合就是使序列不延伸至无穷大的所有复数参数c的集合(其他延伸至无穷大的复数参数实际上导致混沌)。实际上,由于c可以任意复数参数,因此当取值不同时,生成的图形也不同。

现在,让我们欣赏一下由各种曼德博集合生成的图形。这些图形之复杂、美丽与这些图形背后数学公式fc (z) = z² + c之简单、精致,简直令我们震撼!

赏石的千古之谜与旷世遗憾

赏石的千古之谜与旷世遗憾

赏石的千古之谜与旷世遗憾

赏石的千古之谜与旷世遗憾

赏石的千古之谜与旷世遗憾

赏石的千古之谜与旷世遗憾

正如这些由简单数学公式生成的复杂画面给我们带来深深的震憾一样,曼德博的分形几何学给整个数学界都带来了一场巨大的地震。然而,曼德博给我们展示的远远不止是这些美丽的画面或简单的公式,他给我们带来如何看待这个世界的新方法和新观念,以及如何解决粗糙、混沌、随机问题的能力。

再回到石头上来。幸运的是,中国人天生没有长着一双“微积分”的眼睛,因此在石头的“无限小处”,峰峦、空洞、峡谷并没有变成牛顿的直线或莱布尼兹的平面,这使得我们可以享受“本向他山求得石,却於石上看他山”的乐趣。遗憾的是,中国人却天生一个不爱问问题的脑袋。中国人大概最早发现了石与山的相似性,并且与其厮守长达千年之久,却从未有人问一个为什么。世界上没有一个民族比中国人更接近分形几何学这个重大的数学理论,但最终仍与之失之交臂。这是不是一个旷世的遗憾呢?

2018年12月6日丁文父

原文始发于微信公众号(丁文父):赏石的千古之谜与旷世遗憾

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